B2B14: Optimalna štednja i optimalni rast u modelima rasta

Ilustracija: Željko Badurina

Ad
Ad

Jedna od najzanimljivijih tema u teoriji rasta je tema dostizanja “staze optimalnog rasta”. Kako je kratko istaknuto u tekstu o kamati u dugom roku, u potrazi za “optimalnim rastom” važno je ponašanje potrošača koji danas treba donijeti odluku o tome koliko će potrošiti danas, a koliko sutra. Preciznije, treba donijeti odluku koliko će potrošiti danas, a koliko će uštedjeti i uložiti kako bi iz budućeg dohotka mogao generirati potrošnju sutra. Upravo odluka o potrošnji i štednji u modelima rasta definira kolika će biti akumulacija kapitala. Optimalna razina kapitala po radniku će onda generirati optimalnu stazu rasta.

Iz ovog mehanizma je jasno kako se pitanje o odabiru adekvatne razine štednje može uklopiti u modele rasta koje smo do sada objasnili. Dakle, ključno pitanje na koje odgovaramo u ovom tekstu je kako izborom određene razine štednje postići optimalnu stazu rasta.

Jedan od prvih autora koji se posredno bavio ovom temom je (ranije spominjani) Ramsey koji je 1928. godine u vrlo utjecajnom djelu Mathematical Theory of Saving objavio matematički dokaz da je stvarna stopa štednje, koja je rezultat tržišnih procesa i samostalnih odluka pojedinaca, manja od neke “optimalne stope štednje” koja bi maksimizirala društveno blagostanje. Taj dokaz vrijedi čak i uz njegovu pretpostavku da se na razini društva buduća potrošnja ne diskontira, iako je neki pojedinci možda i diskontiraju.

Ovaj rad je postao temelj na kojem su šezdesetih godina, odnosno 30-ak godina kasnije, u eri procvata teorije rasta, gradili ekonomist David Cass i jedan od tvoraca matematičke ekonomije i ekonometrije i dobitnik Nobelove medalje za ekonomiju Tjalling Koopmans. Radovi ovih autora se danas najčešće prezentiraju kao jedinstveni Ramsey-Cass-Koopmansov model, o kojem ćemo dosta govoriti u ovom tekstu.

Iako Ramseyev rad na početku nije imao velik utjecaj na ekonomiste, neki drugi autori su s početkom razvoja modela rasta počeli istraživati vrlo važno pitanje optimalne razine štednje. Ako se prisjetimo prvog ne-marksističkog modela rasta iz 1939. godine, Harrodovog, sjetit ćemo se da je štednja imala ključnu ulogu za dugoročan ekonomski rast, ali je ona u modelu bila zadana egzogeno. Budući da se Harrodov (i Domarov) model 50-ih počeo koristiti kao podloga za ekonomsko planiranje u zemljama u razvoju, otvorilo se vrlo važno pitanje koja bi bila neka razina štednje koja bi omogućila najveći rast. Međutim, prvi koji je eksplicitno otvorio pitanje optimalne razine štednje u Harrodovom modelu je bio prvi dobitnik Nobelove medalje za ekonomiju Jan Tinbergen u radu The Optimum Rate of Saving iz 1956. Kasnije je veliki doprinos u istraživanju ovog pitanja dala Joan Robinson u djelu kojeg smo ranije spominjali, Essays in the Theory of Economic Growthiz 1962.

I dok su ovi radovi izazivali veliko zanimanje ekonomista u kejnezijanskim krugovima, pitanje optimalne razine štednje (i optimalnog rasta) se u dominantnoj (neoklasičnoj) literaturi počelo snažnije spominjati tek nakon što su ekonomisti počeli “raskopavati” najpopularniji neoklasični model rasta, Solow-Swannov iz sredine 50-ih. Ovaj model, budući da je zadovoljavao “neoklasičnu formu”, postao je predmet mnogih dorada i istraživanja, a upravo se na njega kasnije naslonio i Ramsey-Cass-Koopmansov model (koji endogenizira odluke o štednji), pa ova dva modela predstavljaju temeljne modele koji se prezentiraju u suvremenim udžbenicima (napredne) makroekonomike i teorija rasta.

Iako nije kronološki, u ovom tekstu smo odlučili početi s objašnjenjem optimalnog rasta u Solow-Swannovom modelu rasta te Ramsey-Cass-Koopmansovom modelu jer su oni najzastupljeniji u literaturi, a na kraju ćemo se kratko osvrnuti na pitanje optimalnog rasta u kejnezijanskim modelima i modelu linearnih tehnologija (von Neumann) koje smo prezentirali u prethodnim tekstovima. Veliki izazov predstavlja činjenica da je pitanje optimalnog rasta prvenstveno pitanje matematičke optimizacije pa će čitatelji koji “uguglaju” optimalni rast naići na retke i retke izvoda i optimizacije. Uz rizik da ne budemo potpuno analitički točni, mi ćemo ipak pokušati ovo važno pitanje prezentirati na jednostavniji način, uz manji broj jednadžbi.

Prije nastavka potrebno je istaknuti još jednu zanimljivost. Na početku smo rekli da je pitanje optimalne štednje i optimalnog rasta jedno od najzanimljivijih, ali možda možemo reći i najkontroverznijih pitanja u ekonomici rasta. Razlog zbog kojeg je ovo pitanje potencijalno kontroverzno je u tome što, ako se matematički može dokazati da slobodno tržište ne može generirati optimalnu razinu štednje, očito postoji potreba za snažnom intervencijom države ili, kako je Ramsey to postavio, za “društvenim planerom” koji bi mogao osigurati optimalnu razinu štednje. Ili možda ipak postoji način da se uređenjem institucija, sustava poticaja (eng. incentives) i početnom raspodjelom resursa (eng. endowments) na neki način osigura da i tržište iznjedri optimalnu razinu štednje? Pitanjem uloge institucija ćemo se više baviti pri kraju B2B2 serije.

Optimalni rast u Solow-Swannovom modelu

Kako smo objasnili u tekstu o Solow-Swannovom modelu, ravnotežna staza rasta je određena s četiri varijable: štednjom (investicijama), stopom amortizacije, stopom rasta stanovništva te tehnološkim napretkom. Kombinacijom ovih varijabli se može definirati veliki broj ravnotežnih staza rasta pa se postavlja pitanje koja je među njima optimalna, te kako se ona može postići.

U objašnjenju Solow-Swannovog modela smo istaknuli još jednu važnu stvar, a to je da su sve gore navedene varijable egzogene, tj. određene izvan modela. Pritom je jasno da se utjecajem na bilo koju od navedenih varijabli može utjecati na ravnotežnu stazu rasta. Međutim, najlogičniji “kandidat” za analizu je u ovom kontekstu stopa štednje, donosno stopa investicija. Kako je Joan Robinson duhovito izjavila, ostale varijable su zadane “od strane Boga i inženjera”.

Najznačajniji doprinos razumijevanju pitanja optimalne razine štednje i postizanja optimalnog rasta u Solow-Swannovom modelu (unutar neoklasične paradigme) dao je još jedan ekonomski nobelovac, EdmundPhelps, u vrlo zanimljivom i duhovitom radu o Kraljevini Solowiji, pod nazivom The Golden Rule of Accumulation: A Fable for Growthmen iz 1961. godine. Radi se o ekonomskoj bajci koju svakako treba pročitati (ima samo sedam stranica). Odgovor na pitanje kako postići optimalan rast je u ovoj bajci dao seljak Oiko Nomos (sjetite se da riječ ekonomija dolazi od grčkih riječi oikos (kuća/kućanstvo) i nomos (vladati)). Kao i Robinson, Phelps je pretpostavio da su sve varijable u Solow-Swannovom modelu izvan dosega utjecaja nositelja politika pa je važno utvrditi koja je to optimalna razina štednje koja može osigurati optimalnu ravnotežnu stazu rasta. Pritom se pod optimalnom ravnotežnom stazom rasta podrazumijeva ona koja će sadašnjoj i budućim generacijama osigurati maksimalnu potrošnju. Ovu bajku se može matematički prepričati na jednostavan način (zbog jednostavnosti prikazujemo Solow-Swann model bez tehničkog napretka i stope amortizacije).

Iz Keynesove funkcije potrošnje znamo da je potrošnja po stanovniku (c=C/L) definirana kao razlika između dohotka po stanovniku (y=Y/L) i štednje po stanovniku (s=S/L), pri čemu štednja ovisi o graničnoj sklonosti potrošnji, odnosno o graničnoj sklonosti štednji s (pri čemu je s=1-mpc).

(1) c=y-sy

Iz Solow-Swannovog modela smo naučili da je dohodak po stanovniku određen razinom kapitala po stanovniku (k=K/L):

(2) c=f(k)-sf(k)

Također se sjećamo da je promjena kapitala po zaposlenom/stanovniku određena štednjom koja se prenosi u investicije te stopom rasta stanovništva:

(3) Δk=sf(k)-nk

Budući da tražimo optimalnu stazu rasta, znamo da se trebamo naći u ravnoteži gdje je Δk=0, pa je uvjet ravnoteže:

(4) sf(k)=nk

Da bi se održala razina kapitala i dohotka po stanovniku, investicijama moramo pokriti rast broja stanovnika. Kombinacijom izraza (2) i (4) možemo pokazati da je optimizacijski problem koji društvo u potrazi za optimalnom stazom rasta mora riješiti (naravno, optimizacijski problem se može postaviti i drukčije, ali je ovo najčešće korišteni pristup):

(5) max c = f(k)-nk

Deriviranjem ovog izraza po kapitalu te izjednačavanjem s 0, dobije se izraz:

(6) fk-n=0 → fk=n=r*

Dakle optimalna staza rasta se postiže na razini kapitala po radniku na kojem je granični proizvod kapitala, odnosno povrat na kapital ili kamatna stopa, jednak stopi rasta stanovništva.

Iz ovog razloga neki ovu kamatnu nazivaju biološkom kamatnom stopom. Ovakav naziv kamatne stope može izazvati nejasnoće. U modelu, kao što je niz puta naglašeno, sve veličine su po zaposlenom pa je kamatnjak jednak stopi povećanja zaposlenosti. Uz nepromijenjenu stopu participacije (učešća zaposlenih u ukupnom stanovništvu) ta je stopa jednaka stopi rasta stanovništva pa se zato nerijetko model tumači kao da su varijable definirane po stanovniku.

Međutim, kako smo ranije napomenuli, ključno je pitanje kako postići optimalnu razinu kapitala po radniku. Odgovor na to pitanje leži u optimalnoj stopi štednje (investicija), koju se također može lako izvesti. Ako znamo da u ravnoteži nema promjene kapitala po stanovniku (Δk=0), da su investicije po stanovniku jednake štednji po stanovniku, te da je povrat na kapital jednak stopi rasta stanovništva (radnika), na temelju gornjih jednadžbi možemo zapisati:

(7) s=i=Δk=nk

iz čega izvodimo:

(8) s=i=rk

Umnožak povrata na kapital i razine kapitala po radniku daje profit po radniku, pa je gornji izraz jednak:

(9) s=i=π

Izraz (9) govori da je optimalna stopa štednje (investicija) ona koja odgovara udjelu profita u ukupnom dohotku.

Ovaj uvjet je važan i treba ga detaljnije objasniti. On znači da se svi profiti uštede i investiraju. Taj rezultat je vrlo sličan ranije spomenutom Cambridgskom pravilu iz Kaldorovog modela, a Phelps je ovaj izraz nazvao zlatnim pravilom akumulacije. Danas je poznatiji po nazivom zlatno pravilo štednje.

Logiku optimalne stope štednje se može objasniti i grafički. Krenuvši od jednostavnijeg prikaza, na Slici 1 je prikazan direktan odnos stope štednje i potrošnje po stanovniku. Ova krivulja zvonolikog oblika jasnije pokazuje da postoji optimalna stopa štednje koja maksimizira potrošnju po stanovniku. Prevelika stopa štednje (treba podsjetiti da su u izvodu sve veličine iskazane po zaposlenom odnosno stanovniku) i premala stopa štednje generiraju nižu razinu potrošnje od optimalne. Kako smo gore pokazali, stopa štednje s2generira veću razinu kapitala po radniku, ali maju razinu potrošnje po radniku u odnosu na optimalnu razinu.

Slika 1: Odnos stope štednje i potrošnje po stanovniku

Sada je potrebno objasniti otkud ova slika dolazi, a za to nam može poslužiti već poznati grafikon Solow-Swannovog modela (u reduciranom obliku, bez tehnološkog napretka i amortizacije). Na Slici 2 je prikazana dobroponašajuća funkcija proizvodnje y=f(k), linija potrebnih investicija i=nk te dvije funkcije štednje, odnosno investicija i=sf(k).

Slika 2: Zlatno pravilo štednje (akumulacije) u Solow-Swannovom modelu

Slika pokazuje da se ravnoteža u Solow-Swannovom modelu može ostvariti i uz stopu štednje si uz stopu štednje s2.Obje stope štednje mogu generirati stabilnu ravnotežnu stazu rasta, pri razini kapitala po stanovniku kili k2. Međutim, samo je jedna od ove dvije staze optimalna. Kako je ranije objašnjeno, pod optimalnom stazom rasta podrazumijevamo onu koja maksimizira potrošnju u gospodarstvu.

Iz jednadžbe (1) znamo da je potrošnja po stanovniku jednaka razlici dohotka i štednje (investicija), što je na slici označeno upravo razlikom između ove dvije funkcije. Uz razinu kapitala po stanovniku kostvaruje se potrošnja c1, dok se uz razinu kapitala po stanovniku k2 ostvaruje potrošnja c2. Odgovor na pitanje koja je razina kapitala po stanovniku (koji je generiran štednjom, odnosno investicijama) optimalna ovisi upravo o odnosu ove dvije razine potrošnje. Iz slike se lako može vidjeti da je cznačajno veća od c2 i ona se iz perspektive društva smatra optimalnom.

A kako smo na slici došli do optimalne razine kapitala, štednje i potrošnje? Vrlo jednostavno. Znamo da se optimalna staza rasta postiže na razini kapitala po radniku na kojoj je povrat na kapital jednak stopi rasta stanovništva. Budući da je nagib krivulje potrebnih investicija upravo stopa rasta stanovništva n, a nagib funkcije proizvodnje povrat na kapital fk (nagib je derivacija ovih funkcija po k), znamo da ti nagibi moraju biti isti. A oni su isti tamo gdje je tangenta na funkciju proizvodnje paralelna (jednakog nagiba) liniji potrebnih investicija. Dakle, grafički se zlatno pravilo štednje izvodi zamišljenim “pomicanjem” linije potrebnih investicija do razine gdje ona tangira funkciju proizvodnje.

Kako je ranije objašnjeno, i u Kaldrovom i u neoklasičnom modelu rasta se može pokazati da bi optimalna stopa štednje trebala odgovarati udjelu profita u ukupnom dohotku, koji se kreće oko 30% (Kaldorova stilizirana činjenica rasta je da je udio profita u ukupnom dohotku 1/3 u dugom roku). Kako smo pokazali u prvom tekstu u B2B2 seriji o makroekonomskoj raspodjeli, ova stilizirana činjenica odgovarala je udjelu dohotka od kapitala u BDV-u Hrvatske u razdoblju od 2000. do 2014. godine. Međutim, za neke druge zemlje ona je bila značajno viša ili manja, pa se ne može pretpostaviti da stopa štednje od oko 30% maksimizira potrošnju u svim zemljama. Ovom važnom pitanju ćemo se vratiti kasnije.

Ramsey-Cass-Koopmansov model

Iako je Phelps ponudio vrlo zanimljivu i bogatu doradu Solow-Swannovog modela, ostalo je otvoreno pitanje osigurava li “zlatno pravilo štednje” uistinu optimalan rast. Phelps je pokazao kako maksimizirati potrošnju u gospodarstvu te je pokazao da održavanjem određene stope štednje svaka generacija može uživati tu maksimalnu razinu potrošnje. Međutim, je li to uistinu optimalno rješenje? Cass i Koompans bi rekli da nije.

Početkom 60-ih godina ovaj je dvojac, nezavisno jedan od drugoga, objavio radove u kojima su (trideset godina stare) Ramseyeve ideje o važnosti intertemporalne potrošnje u maksimizaciji društvenog blagostanja stavili u kontekst optimalnog rasta (Ramsey se nije bavio rastom). Cass je objavio rad pod nazivom Optimum Growth in an Aggregative Model of Capital Accumulation, a Koopmans On the Concept of Optimal Economic Growth. Ovi radovi se također temelje na neoklasičnim pretpostavkama, a u odnosu na Phelpsov model uvode dvije važne razlike.

Prvo, eksplicitno se uvodi proces donošenja odluka kroz ponašanje pojedinaca/društva i maksimizaciju funkcije korisnosti. Potrošnja nije cilj sama po sebi već je je ona sredstvo ostvarivanja cilja maksimalne korisnosti (blagostanja). Dakle, u ovom modelu odluka o štednji/potrošnji je posljedica ponašanja (optimizacije) ekonomskih subjekata. Na ovaj način se u kanonski neoklasični model rasta uvode mikro osnove, tj. model postaje baziran na mikroekonomiji (eng. micro-based). Drugim riječima, u Solow-Swannovom modelu štednja je bila egzogena, dok je u Ramsey-Cass-Koopmansovom modelu ona endogena.

Drugo, u izvodu zlatnog pravila štednje Phelps je implicitno pretpostavljao da potrošnja danas i potrošnja sutra vrijede jednako. S time bi se složili i Ramsey i Pigou koji su, kako smo ranije istaknuli, smatrali iracionalnim davati manju važnost budućnosti. Međutim, ekonomisti i psiholozi vrlo dobro znaju da ljudi uistinu više preferiraju potrošnju danas od potrošnje sutra, pa je ovu činjenicu važno uzeti u obzir u analizi optimalnog rasta.

Funkcija cilja

Prvi korak teorije optimalnog rasta u Ramsey-Cass-Koopmans modelu tiče se izbora funkcije cilja. Ona je temelj usporedbe staza rasta i veličina koje ih određuju. Bez jasno definirane funkcije cilja ne može se provoditi analiza optimalnog rasta. Ako nema dobro definirane funkcije cilja, ne mogu se uspoređivati staze, ne mogu se uspoređivati ishodi, ne mogu se odrediti početni uvjeti, ne može se provoditi “cost-effectivness” ili “cost-benefit” analiza i ne može birati najbolje rješenje između nekoliko dostupnih. Bolje je da je takva funkcija jasno definirana, jer je onda analiza konzistentna.

U duhu neoklasične paradigme funkcija cilja mora imati neke važne osobine.

Prva je da je funkcija cilja utemeljena na korisnosti pojedinaca. Funkcija je dakle utilitaristička. Svi su pojedinci u modelu isti jer imaju istu funkciju korisnosti koja se kroz vrijeme ne mijenja. Ona je u tom smislu demokratična, pa se analiza može svesti na “reprezentativnog pojedinca”. Ako bi se objasnilo ponašanje jednog, objasnilo bi se ponašanje svih. Naravno, ova se priča može i drukčije postaviti i reći da svi pojedinci imaju istu funkciju korisnosti koju je nametnuo benevolentni planer ili pak da je nebenevolentni planer (diktator) nametnuo svoju funkciju korisnosti svima. Međutim, mi ćemo se ovdje držati demokratične priče. Korisnost je i trenutačna,jer ovisi samo o tekućem razdoblju.

No, ostaje još nekoliko problema. Prvi se tiče pitanja čije korisnosti treba uzeti u obzir prilikom računanja i na koji način. Današnjih glasača? Danas živućih? Svih budućih generacija? Kasnije ćemo se tim pitanjem još baviti, ali ovdje je dovoljno prihvatiti uobičajenu pretpostavku da se u račun uzimaju sve buduće generacije, što je isto kao da pretpostavimo da je pojedinac besmrtan. To rješava pitanje nasljeđivanja, kojeg neposredno nema, i vremenskog horizonta, koji je beskonačan.

Drugi je da se izbor vrši “danas” za beskonačno dugo buduće razdoblje. Drugim riječima, prošlost je nepromjenjiva i ne utječe na izbor. Odluka se dakle donosi danas za budući tok korisnosti, pa je funkcija korisnosti intertepemporalna i aditivna jer se sve buduće diskontirane korisnosti zbrajaju u sadašnju vrijednost korisnosti.

Vezano uz prethodno, postavlja se i pitanje kako danas vrednovati buduće događaje. U prvom koraku  će se pretpostaviti da nema neizvjesnosti ni rizika. Oni se mogu uključiti na ograničen način, ali formule postaju jako složene (jer svaki događaj predstavlja raspodjelu vjerojatnosti njegovog odigravanja).

Izvjesnost i poznata budućnost značajno olakšavaju treći problem koji se odnosi na uspoređivanje vrijednosti različitih razdoblja. U pitanju je diskontiranje – svođenje buduće vrijednosti na njenu sadašnju vrijednost. Postupak diskontiranja krije jednu važnu pretpostavku o važnosti budućih događaja danas. Tu važnost određuje ponder sa kojim se mjeri i nije jasno kakav bi on trebao biti. Veličina pondera tako određuje sadašnju vrijednost i s promjenom pondera ona se mijenja pa se može mijenjati i ponašanje. Na primjer, da li korisnost kuće kupljene za pet godina vrijedi isto koliko i korisnost kuće kupljene danas ovisi o diskontiranju, a odnos tih vrijednosti pak o štednji i potrošnji. Kratko razdoblje od pet godina prividno daje odgovor jer je unutar jedne generacije. U modelu je horizont beskonačan pa bi ista odluka bila da li kuća koju će kupiti unuci vrijedi jednako kao kuća koju ću ja sada kupiti sebi.

Funkcija cilja se u Ramsey-Cass-Koompansovom modelu može zapisati kao sadašnja vrijednost V trenutačne i buduće korisnosti (zbog jednostavnosti je uzet ovaj oblik funkcije u diskretnom vremenu, a ne kompleksnija funkcija u kontinuiranom vremenu):

(10) Vt=∑s=0βsU(ct+s)

Pritom se, kao u standardnoj mikroekonomskoj analizi, pretpostavlja da potrošnja c povećava korisnost U, ali po opadajućoj stopi. Parametar β predstavlja diskontni faktor i pokazuje da se korisnost diskontira i na taj način svodi na sadađnju vrijednost. Zbog njegove važne uloge potrebno ga je detaljnije objasniti.

Diskontni faktor i mjerenje nestrpljivosti

Diskontni faktor se može definirati kao (sličnost sa diskontiranjem budućih tijekova novca, primjerice kod obveznica, je namjerna):

(11) β=1/(1+ρ)

Njegova vrijednost, dakle, ovisi o parametru ρ. Parametar ρ se može tumačiti kao nestrpljivost ili pristranost današnjici. Što je on veći, to je diskontni faktor manji i potrošnja u daljoj budućnosti ima manju vrijednost i manji utjecaj na današnje ponašanje. U tom slučaju se može govoriti o kratkovidnosti. Više cijenimo svoju kuću danas i manje cijenimo kuću za pet godina ili kuću naših unuka. I obrnuto. Kako smo ranije napomenuli, oko vrijednosti parametra ρ se nisu svi ekonomisti slagali. On nije samo ekonomsko, već i moralno i političko pitanje. Zato se u raspravama o parametru ρ, tj. beti mogu prepoznati dvije struje.

Prva struja, čiji su prvi zagovornici Ramsey i Pigou, je zagovarala veličine parametara β=1, odnosno ρ=0. To znači da potrošnja u svakom razdoblju jednako vrijedi, da nema kratkovidnosti, da nema “telekoskopskih osjetila” o kojima je pisao Pigou. Sve sadašnje i buduće generacije i potrošnje u svakom razdoblju vrijede jednako. Ovakva funkcija se naziva i Pigou-Ramseyjeva funkcija korisnosti pojedinca (i kasnije iz nje izvedene društvene korisnosti).

Druga struja zastupa slučaj ρ>0, znači β<1, što podrazumijeva da potrošnja manje vrijedi što je dalje u budućnosti. To znači da potrošnja budućih generacija manje vrijedi od one današnjih. Funkcija ima miopiju ili kratkovidnost. Kako smo ranije napomenuli, ovakve vrijednosti uvodi Eugen Böhm-Bawerk, ali ih Pigou i Ramsey osporavaju. Jedan od prvih koji se zalagao za pretpostavku β<1 je bio još jedan ekonomski Nobelovac, Paul Samuelson, još krajem 1930-ih u radu A Note on Measurement of Utility.

U neku ruku, da li je ρ>0 je empirijsko pitanje i razumljivo je da su provedena opsežna istraživanja kakva je stvarna vrijednost parametra ρ. Prevladavaju rezultati da pojedinci pokazuju nestrpljivost i ρ>0 β<1. Na primjer, uzimaju kredite i zadužuju buduće generacije. Ponašanje i istraživanja psihologa upućuju da to vrijedi za pojedince, a posljedice za društvo su jako važne.

Prva posljedica se tiče morala. Je li to moralno opravdano na razini društva? To je pitanje kojim su se posebno bavili Ramsey i Pigou. Oni su smatrali da je to moralno sporno, da je moralno opravdano jedino ρ=0 i β=1 te da tome odgovara optimalna stopa štednje. Oni su smatrali da se društvo sastoji od svih generacija, današnjih i budućih, te da bi one sve trebale imati jednaki “ponder” u funkciji društvene korisnosti.

Drugo je da takva vrijednost ima vrlo ozbiljne posljedice za tržišta kapitala. Ona imaju ugrađenu kratkovidnost, miopiju kako je to nazivao Pigou, i to je kasnije prepoznato kao jedna od ugrađenih nesavršenosti tržišta kapitala. Na primjer, infrastrukturne objekte koji imaju dugi vijek trajanja je nemoguće financirati na tržištima kapitala bez državne intervencije. Nisu u pitanju samo eskternalije i mrežni efekti, nego postoji i problem miopije.

Ekonomisti, psiholozi, filozofi i matematičari uložili su trud da opravdaju ρ>0 i β<1, pri čemu se navodi nekoliko razloga. Prvo je pitanje ukusa. Preferencije pojedinaca su takve kakve jesu i to treba poštovati. Nema opravdanja za prosvijećenog planera koji može ići protiv volje pojedinaca u ime društva i nametnuti neku vrijednost β koja bi bila “moralna”. Drugo, neki to vide kao politički, a ne etički problem. Kod pojedinca se može razlikovati javne preferencije (koje su Pigou-Rasmeyjeve s β=1), koje određuju političko ponašanje, i njegove privatne preferencije (koje diskontiraju). Treće, neki su zagovornici teorije dinastičke funkcije korisnosti, u kojima postoji altruizam prema “svojoj” dinastiji”, što odgovara stvarnom ponašanju, ali postoji diskontni faktor koji ukazuje na izvjesni stupanj sebičnosti/kratkovidnosti. Četvrto, mnogi smatraju da je rješenje koje izbaci tržište prihvatljivo. Ako je situacija na tržištu β<1, što očito je, onda to jednostavno treba prihvatiti. Peto, i u kontekstu ekonomske teorije najvažnije, pretpostavka da je β=1 onemogućava (ili bitno otežava) usporedbu korisnosti, čime se onemogućava i odabir optimalne razine potrošnje. Zato se u ekonomskoj teoriji i modelima rasta koristi pretpostavka da je β<1 (najčešće 0,99 ili 0,95).

Razrada modela

U razradi Ramsey-Cass-Koopmansovog modela koristiti se ranije opisana funkcija cilja: sadašnja vrijednost beskonačnog tijeka budućih korisnosti pojedinaca. Kombinacijom (10) i (11) funkcija cilja se može pisati kao:

(12) Vt(0)=∑s=0(1+(1/ρ))sU(ct+s)

U modelu se ta funkcija maksimizira obzirom na poznato ograničenje modela rasta, kakva smo imali i u Solow-Swannovom modelu, a koje je definirano s tri jednadžbe.

Prva jednadžba se tiče identiteta jednog razdoblja, koja pokazuje da se ukupan dohodak u gospodarstvu u svakom vremenskom razdoblju može podijeliti na potrošnju i štednju/investicije:

(13) yt=ct+it

Druga jednadžba, kao i ranije, je jednadžba akumulacije kapitala. Promjena kapitala jednaka je ukupnim investicijama umanjenim za demografske (investicije koje moraju pokriti samo rast stanovništva):

(14) Δkt+1=it-nkt

Konačno, u model je uključena funkcija proizvodnje koja zadovoljava sve one važne uvjete koje smo objasnili u Solow-Swannovom modelu:

(15) yt=f(kt)

Iz navedenih jednadžbi se može definirati ograničenje:

(16) f(kt)=ct+ Δkt+1+ nkt

Problem optimizacije funkcije cilja (12) uz ograničenje (16) se može riječima opisati na sljedeći način: za zadanu početnu razinu kapitala te ograničenje resursa potrebno je odabrati razinu potrošnje i investicija (buduće potrošnje) koja će maksimizirati sadašnju vrijednost (diskontiranih) korisnosti. Rješavanjem ovog optimizacijskog problema može se izvesti jednadžba putanje potrošnje:

(17) Δct+1=-(u”(c)/u””(c))(f”(k)-n-ρ)

Ako se sjetimo da derivacija funkcije proizvodnje daje povrat na kapital r možemo zapisati:

(18) Δct+1=-(u”(c)/u””(c))(r-n-ρ),

Izraz u”(c)/u””(c) je omjer prve i druge derivacije funkcije korisnosti, a već smo ranije rekli da se pretpostavlja da je ona rastuća u”(c)>0, ali po opadajućoj stopi u””(c)<0. Budući da u jednadžbu putanje potrošnje ulazi funkcija korisnosti neophodno je pretpostaviti njezin oblik. Pritom se ona može riješiti za različite oblike funkcije, Cobb-Douglasovu, logaritamsku itd., pa ovaj izraz ima različita značenja (intertemporalna stopa supstitucije, averzija prema riziku). On pokazuje i koliko je korisnost osjetljiva na razlike između ostalih odrednica potrošnje. Za potrebe ovog teksta ćemo zanemariti oblik funkcije korisnosti (npr. u logaritamskoj funkciji zbog prirode vremenskog deriviranja korisnosti on nestaje) i koncentrirati se na tri najvažnije odrednice dinamike potrošnje: povrat na kapital r, stopu rasta stanovništva n, te nestrpljivost ρ.

Veća stopa povrata na kapital podrazumijeva da će društvo danas biti spremno odreći se potrošnje i investirati danas kako bi ostvarilo veću potrošnju u budućnosti. S druge strane, rastući broj stanovnika smanjuje potrošnju po stanovniku u budućnosti, kao i nestrpljivost (želimo više trošiti danas). U ravnoteži nema promjene potrošnje Δct+1, pa iz jednadžbe (18) možemo naći izraz za ravnotežnu razinu potrošnje po stanovniku:

(19) r=n+ρ

Ovaj izraz definira optimalnu razinu akumulacije. Optimalnu zato što je sada akumulacija posljedica ponašanja društva, uzimajući u obzir preferencije i odnos prema budućnosti njegovih članova. Obzirom da je poznata stopa povrata na kapital, iz proizvodne funkcije (15) može se lako izračunati količina kapitala po radniku. Uz optimalnu stopu povrata to je onda i optimalna razina kapitala po radniku, k*.

Ako se prisjetimo da je “zlatno pravilo” akumulacije (jednadžba (6)) glasilo:

(20) r=n,

može se odmah vidjeti da je za optimalni rast potreban viši povrat na kapital, budući da on treba “pokriti” ne samo stopu rasta stanovništva, već i nestrpljivost. Povrat mora biti dovoljno visok da bi društvo odvratio od sadašnje potrošnje prema budućoj. Budući da znamo da proizvodna funkcija ima opadajuće prinose, to sugerira da je i razina štednje (akumulacije) na nižoj razini u odnosu na “zlatno pravilo”.

Jednadžba (18) određuje putanju potrošnje po radniku, a iz jednadžbe (16) se može izvesti putanja kapitala po radniku (što se dobro vidi na Slici 2):

(19) Δkt+1= 0=f(kt) -ct– nkt

Na temelju ove dvije jednadžbe se može prikazati poznati i vrlo zanimljiv grafikon, odnosno fazni dijagram Ramsey-Cass-Koopmansovog modela (Slika 3).

Slika 3: Ramsey-Cass-Koompansov model

Zbog boljeg razumijevanja smo odlučili objasniti dijagram u dva koraka. Prvo, s lijeve strane su prikazane putanje potrošnje i kapitala po radniku. Na apscisi je kapital po radniku, a na ordinati potrošnja po radniku. Vertikalna linija pokazuje ravnotežnu potrošnju, tj. Δct+1=0, koja se ostvaruje pri određenoj razini kapitala po radniku k*. Kako je ranije napomenuto, ta razina kapitala je ona na kojoj je r=n+ρ. Ako je razina kapitala po radniku manja od te razine, povrat na kapital će biti veći, pa će vrijediti r>n+ρ te će potrošnja rasti (strelica gore). S druge strane, ako je razina kapitala veća od k*, potrošnja će padati (strelica dolje). Krivulja zvonolikog oblika pokazuje ravnotežu kapitala po radniku tj. Δkt+1=0, koja se ostvaruje na razini gdje je potrošnja točno jednaka razlici dohotka i linije potrebnih investicija (kao što smo objasnili na Slici 1 i Slici 2), tj. kada je ct= f(kt) – nkt. Ako je potrošnja veća od te razine, kapital po radniku će padati (strelica lijevo), a ako je manja, kapital po radniku će rasti (strelica gore). S obzirom na putanje kapitala i potrošnje po radniku mogu se definirati četiri kvadranta.

Smjerovi strelica pokazuju da ako se gospodarstvo nalazi u sjeverozapadnom ili jugoistočnom kvadrantu ono neće konvergirati u ravnotežu u modelu (sedlasta točka E) određenu sjecištem pravca ravnotežne potrošnje i krivulje ravnotežnog kapitala po stanovniku. Za više detalja o definiciji i važnosti sedlastih točki pogledati odličan materijal za makroekonomiste-početnike na Harvardu. U sjeverozapadnom kvadrantu će potrošnja beskonačno rasti i dovesti kapital po radniku u 0, a u jugoistočnom će potrošnja padati u 0, a kapital po raniku će doseći svoj maksimum. Dakle, ove pozicije nisu stabilne. S druge strane, ako se gospodarstvo nalazi u sjeveroistočnom i jugozapadnom kvadrantu ono će težiti ravnoteži. U sjeveroistočnom kvadrantu će potrošnja i kapital po radniku padati, a u jugozapadnom rasti, te će se kretati po ravnoteži. Upravo su ove putanje na desnoj slici prikazane pomoću strelica koje vode prema ravnoteži.

U drugom koraku je važno prikazati i odnos između optimalne staze rasta i staze rasta definirane “zlatnim pravilom”. Pritom je važno podsjetiti da su obje staze u biti optimalne ako ih promatramo kao rezultat optimizacije, razlika je u kriterijima određivanja optimalnosti. Kako je ranije objašnjeno, razina kapitala po radniku koja definira optimalnu stazu rasta je manja u odnosu na “zlatno pravilo” kao što se vidi na desnoj strani Slike 3, k*<kzlatno. Ključna razlika između ove dvije staze rasta je upravo u činjenici da se pri definiranju optimalne staze rasta u obzir uzima nestrpljivost. Kada znamo da postoji nestrpljivost, onda znamo da je društvo spremno odreći se manje potrošnje danas, pa je zato i štednja danas manja, a to znači da je i kapital po radniku manji u odnosu na “zlatno pravilo” štednje gdje se implicitno pretpostavlja da društvo jednako vrednuje današnju i sutrašnju potrošnju.

Može li Ramsey-Cass-Koompansov model generirati “zlatno pravilo” štednje? Može. Ako pretpostavimo da je ρ=0 (nema nestrpljivosti), linija ravnotežne potrošnje će se pomaknuti desno i ravnoteža će se ostvariti upravo u točki “zlatno pravilo” na desnoj strani Slike 3.

Kako doći do optimalne staze rasta?

Ako postoji optimalna staza rasta, onda je vro zanimljivo pitanje na koji je način ostvariva. Neoklasični ekonomisti istražili su dva načina. Prvi je onaj “benevolentnog planera”, a drugi decentraliziranim odlučivanjem uz pomoć tržišnih odluka.

“Benevolentni planer” (tako ga neoklasična teorija zove) je planer koji ima moć određivanja vrijednosti parametra i to radi na taj način da maksimizira društvenu funkciju cilja (zato je benevolentan, da maksimizira neku drugu imao bi svoj osobni cilj).  Benevolentni planer dobije sav proizvedeni dohodak i može ga rasporediti kako želi, pri čemu je kriterij raspodjele društvena funkcija cilja. Prema slici faznog dijagrama (Slika 3), model optimalnog rasta omogućava opis toga događaja za bilo koju početnu vrijednost k. Ako počne bilo gdje, benevolentni planer (koji može podešavati potrošnju) trenutno skoči na stabilnu stazu (okomito, se ne mijenja nego se mijenja potrošnja tako da se zadovolji budžetsko ograničenje) i onda po njoj putuje u ravnotežnu stazu rasta.

Pitanje je da li je put koji je odabrao benevolentni planer samovoljnim izborom vrijednosti varijable isti kao onaj kojeg određuju tržište i decentralizirane odluke racionalnih ekonomskih agenata? U decentraliziranom gospodarstvu postoji mnogo potrošača/kućanstva (koji žive vječno) i mnogo tvrtki na konkurentnim tržištima donosi svoje odluke. Kućanstva imaju svoju funkciju cilja, poduzeća svoju, nema prepreka na tržištu i sl. Kada se okvir postavi na ovaj način, može se vidjeti da je moguće doći do identične ravnoteže kao i u slučaju benevolentnog planera. Za izvod matematičkih dokaza pogledati udžbenike Acemoglu (2009) ili Romer (2012).

Analitička vrijednost modela optimalnog rasta

Ramsey-Cass-Koopmansov model koji generira stazu optimalnog rasta je vrlo općeniti model u kojem staza rasta sama po sebi ne konvergira. Ipak, model neoklasičnog optimalnog rasta dopušta uključivanje nekih ideja. One su važne i vrijedne pažnje ne samo zbog boljeg razumijevanja gospodarskog procesa nego i zbog njihove normativne dimenzije.

Prva se tiče nestrpljivosti i seljenja potrošnje kroz vrijeme. Kod “zlatnog pravila” nema nestrpljivosti, ali je kod Ramsey-Cass-Koopmansovog modela ona prisutna. Model zbog toga ima sedlastu točku (za objašnjenje važnosti i uloge sedlastih točki u makroekonomskoj analizi pogledati Harvardov matematički priručnik za ekonomiste) i nije više globalno stabilan, kakav je bio Solow-Swannov model. Dakle, veća je pozornost usmjerena na postizanje ravnoteže.

Druga je ideja da ekonomska politika ima važnu ulogu jer stopa štednje više nije egzogena. Treća je da model omogućava da se ustanovi kako promjena nestrpljivosti utječe na optimalnu stazu rasta. Četvrto, model jasno pokazuje mogućnost dinamičke neefikasnosti. Na koncu, vidljiva je i robusnost Solow-Swannovog modela jer se može proširiti na optimalni rast, što svakako povećava upotrebljivost kanonskog modela i dodatno opravdana njegovu široku primjenu.

Ako se uzmu u obzir sve dodatne osobine koje Ramsey-Cass-Koopmansov model uvodi, onda se vidi njegova važnost, unatoč činjenici da se radi o teorijskoj konstrukciji.

Optimalni rast u drugim modelima rasta

U prethodnim tekstovima smo prezentirali heterodoksne modele rasta izvan neoklasične domene. Kako smo objasnili, i u tim modelima se može prepoznati “najbolja” staza rasta. Međutim, to nije optimalna staza u neoklasičnom smislu, jer ne proizlazi iz optimizirajućeg ponašanja pojedinaca, ali je najbolja prema pristupu modela.

Kako smo već objasnili, u Harrodovom modelu se kao “optimalna” staza rasta može prepoznati ona u kojoj vrijedi da su stvarna stopa rasta g, očekivana stopa rasta ge, opravdana stopa rasta gi prirodna stopa rasta gjednake:

(20) g= ge= g= gn

To se može tumačiti kao optimalna stopa, jer ne samo da ostavlja gospodarstvo na ravnotežnoj stazi nego je na toj stazi i puna zaposlenost i očekivanja poduzetnika se ostvare, pa ni oni ne mijenjaju ponašanje. Naravno, vjerojatnost da se ove stope rasta poklope je gotovo nikakva, što nas vraća na prvu “oštricu noža”, odnosno činjenicu da je dugoročna ravnotežna staza rasta u Harrodovom modelu slučajnost (iako on napominje da se aktivnom politikom treba približavati prirodnoj stopi rasta).

U modelu Joan Robinson prepoznaje se desetak ravnotežnih staza i stopa rasta. Ona se ne bavi normativnom teorijom i ne prepoznaje optimalni rast, no dvije stope su mogući kandidati da se proglase optimalnim. Jedna je zlatni rast, a druga galopirajući platinasti rast. Zlatni rast ona opisuje kao stazu dobrih osobina jer podrazumijeva „…nesmetani rast, postojan rast sa punom zaposlenosti…“. Na toj stazi je željena stopa akumulacije jednaka mogućoj uz uvjete pune zaposlenosti. To se za nju ipak „…ne može zvati optimalna stopa jer realne nadnice djelomično ovise o uvjetima štednje…”. Galopirajuća platinasta staza je također blizu optimalne, no na njoj postoji nezaposlenost. Iako se stopa nezaposlenosti smanjuje, optimistična očekivanja i investicije poduzetnika su ograničene nedovoljnim kapacitetima, nema dovoljno kapitalne opreme za više stope. To je optimalna staza u smislu da se nezaposlenost smanjuje i da optimizam i očekivanja poduzetnika ne jenjavaju.

Von Neumannov model je model u kojemu se definiraju uvjeti za ravnotežne staze. Model je tako postavljen da ne dopušta analizu stabilnosti tih staza nego samo dokazuje njihovo postojanje i osobine. Među mogućim ravnotežnim stazama postoji i jedna s najvećom stopom rasta: model dozvoljava prepoznavanje njenih osobina. Na toj stazi stopa rasta je jednaka stopi povrata na kapital i vrijedi Cambridgska jednadžba prema kojoj su profiti jednaki stopi investicija. Staza maksimalne stope rasta može se tumačiti kao optimalna zbog Teorema autoputa. Teorem određuje da se bilo koja konačna struktura gospodarstva može najbrže postići ako je gospodarstvo na stopi maksimalnog rasta. Osim u okvirima optimalnog rasta, Teorem autoputa ima vrlo važne normativne implikacije. Bez obzira koje ciljeve neko društvo ima (pa čak i ako ne prepoznaje svoje ciljeve), izbor staze najbržeg rasta predstavlja najbolji mogući izbor ekonomske politike.

Optimalni rast i Hrvatska?

Optimalnost je osobina ravnotežne staze rasta. Između niza dostupnih ravnotežnih staza rasta prema nekim kriterijima jedna se prepoznaje kao optimalna. U okviru neoklasičnog pristupa kriterij optimalnosti je sadašnja vrijednosti diskontiranog beskonačnog toka budućih potrošnji.

Sa stajališta neoklasičnog modela rasta hrvatsko gospodarstvo međutim nije na ravnotežnoj stazi rasta. Prisutne su fiskalne neravnoteže, cijene ne odgovaraju graničnim vrijednostima, politička ekonomija dopušta nastanak i održavanje maršalijanskih kvazirenti, rast proizvodnosti je skroman, demografske nestabilnosti su prisutne, itd. Analitičar može dalje upotpunjavati opis prema osobinama svog pristupa  jer ovdje su istaknute neravnoteže koje bi neoklasični pristup istaknuo i koje se drugima ne čine sporne. U okvirima neoklasičnog modela hrvatsko gospodarstvo u najboljem slučaju konvergira nekoj ravnotežnoj stazi (primijenjena istraživanja pokazuju da konvergencija nije zagarantirana).

Opravdano je onda pitanje: kakva je korisnost analiza optimalnog rasta u analizi hrvatskog gospodarstva? Optimalnost je zanimljiva kao  moguće svojstvo staze rasta kojoj hrvatsko gospodarstvo konvergira.

Da li hrvatsko gospodarstvo konvergira i ako konvergira, na koju stazu ravnotežnog dugoročnog rasta koja je optimalna konvergira, nije teorijsko pitanje nego stvar primijenjene analize. Već je bilo govora o četiri moguća puta konvergencije (apsolutna β-konvergencija, uvjetna β-konvergencija, konvergencija klubova i Islamova konvergencija, a σ-konvergencija nije osobina pojedinačnog gospodarstva pa nije ovdje važna). Nažalost, stanje primijenjenih istraživanja je takvo da se na ta pitanja ne može odgovoriti.

Korisnost optimalnog rasta za razumijevanje hrvatskog gospodarstva je dakle vrlo ograničena. No to ne znači da je analiza optimalnog rasta posve nekorisna. Njezina možda najveća vrijednost je u tome što upućuje na važnost razmatranja nekih važnih pitanja. To su prvenstveno pitanja vezana uz intertemporalne preferencije (odnosno važnost današnje i buduće potrošnje), horizont odlučivanja i dinamičku neefikasnost.